Giới hạn của dãy số
Định nghĩa giới hạn dãy số theo ngôn ngữ ε–N, định lý kẹp và các ví dụ tính giới hạn cơ bản.
Bài mẫu minh họa giao diện. Nội dung chính thức do thầy Nguyễn Đình Bình biên soạn sẽ thay thế bài này.
Mục tiêu bài học
- Hiểu định nghĩa giới hạn của dãy số theo ngôn ngữ $\varepsilon$–$N$.
- Tính được giới hạn của các dãy số cơ bản.
- Vận dụng định lý kẹp.
Kiến thức cần có: bất đẳng thức, giá trị tuyệt đối, các phép biến đổi đại số.
1. Lý thuyết
Định nghĩa
Dãy số $(a_n)$ được gọi là hội tụ về số thực $L$, viết $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = L$, nếu
$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N} :\ \forall n > N,\ |a_n - L| < \varepsilon.$$Dãy không hội tụ được gọi là phân kỳ.
Định lý (Định lý kẹp)
Nếu $b_n \le a_n \le c_n$ với mọi $n$ đủ lớn và $\displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} c_n = L$ thì $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = L$.
Chứng minh
Cho $\varepsilon > 0$. Tồn tại $N_1, N_2$ sao cho $L - \varepsilon < b_n$ với $n > N_1$ và $c_n < L + \varepsilon$ với $n > N_2$. Khi đó với $n > \max(N_1, N_2)$ ta có
$$L - \varepsilon < b_n \le a_n \le c_n < L + \varepsilon,$$tức là $|a_n - L| < \varepsilon$. $\blacksquare$
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1
Tính $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{2n+1}{n+3}$.
Lời giải. Chia cả tử và mẫu cho $n$:
$$\frac{2n+1}{n+3} = \frac{2 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{3}{n}} \xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{2+0}{1+0} = 2.$$Ví dụ 2
Tính $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n}$.
Lời giải. Vì $-1 \le \sin n \le 1$ nên $-\dfrac{1}{n} \le \dfrac{\sin n}{n} \le \dfrac{1}{n}$. Hai dãy hai bên đều dần tới $0$, theo định lý kẹp $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n} = 0$.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tính $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(\sqrt{n^2+n} - n\right)$.
Xem lời giải
$$\sqrt{n^2+n} - n = \frac{n}{\sqrt{n^2+n} + n} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + 1} \to \frac{1}{2}.$$Bài 2. Chứng minh $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n^n} = 0$.
Xem lời giải
Ta có $\dfrac{n!}{n^n} = \dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{2}{n}\cdots\dfrac{n}{n} \le \dfrac{1}{n}$ vì mỗi thừa số sau thừa số đầu đều không vượt quá $1$. Do $0 < \dfrac{n!}{n^n} \le \dfrac{1}{n} \to 0$, theo định lý kẹp ta có điều phải chứng minh.
Bài 3. Tính giới hạn
$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\frac{1}{n^2+3}+\cdots+\frac{1}{n^2+n}\right).$$Xem lời giải
Tổng $S_n$ có $n$ số hạng, mỗi số hạng nằm giữa $\dfrac{1}{n^2+n}$ và $\dfrac{1}{n^2+1}$, nên
$$\frac{n}{n^2+n} \le S_n \le \frac{n}{n^2+1}.$$Hai vế đều dần tới $0$, vậy $\displaystyle\lim_{n\to\infty} S_n = 0$.
Bài 4. Tính $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}$.